Bài tập 4, § 5

Cho A là một vành địa phương Noether. Đặt $\delta(A) = [m_A / m_A^2 : \kappa_A] - \dim(A)$ (xem § 4, No. 5). (a) Bây giờ chứng minh rằng chiều của không gian vectơ $\kappa_A$ $H_i(z, A)$, trong đó z là một hệ sinh cực tiểu của $m_A$, không phụ thuộc vào lựa chọn z; ký hiệu nó là $h_i(A)$. (b) Bài tập chứng minh đẳng thức $h_i(A) = h_i(\widehat{A})$ với mọi i. (c) Chứng minh rằng có $h_1(A) \geq \delta(A)$, và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A là một vành giao đầy đủ (nhận xét 2 của No. 2; rút gọn về trường hợp A đầy đủ và áp dụng Bài tập 4 bằng cách biểu diễn A như một thương $R/I$, trong đó R là một vành địa phương chính quy và $I \subset m_R^2$). (d) Cho $(x_1, \ldots, x_p)$ là một dãy cát tuyến hoàn toàn của các phần tử của $m_A$, sinh ra một iđêan J. Bài tập chứng minh đẳng thức $h_1(A/J) - \delta(A/J) = h_1(A) - \delta(A)$ (rút gọn về trường hợp $p = 1$ và phân biệt hai trường hợp, tùy theo $x_1$ thuộc hoặc không thuộc $m_A^2$).