Exercice 4, § 5

Soit A un anneau local noethérien. On pose $\delta(A) = [m_A / m_A^2 : \kappa_A] - \dim(A)$ (cf. § 4, n° 5). a) Montrer que la dimension du $\kappa_A$-espace vectoriel $H_i(z, A)$, où z est un système de générateurs minimal de $m_A$, est indépendante du choix de z ; on la note $h_i(A)$. b) Démontrer l’égalité $h_i(A) = h_i(\widehat{A})$ pour tout i. c) Prouver qu’on a $h_1(A) \geq \delta(A)$, et que l’égalité a lieu si et seulement si A est un anneau d’intersection complète (remarque 2 du n° 2 ; se ramener au cas où A est complet et appliquer l’exerc. 4 en présentant A comme un quotient $R/I$, où R est un anneau local régulier et $I \subset m_R^2$). d) Soit $(x_1, \ldots, x_p)$ une suite complètement sécante d’éléments de $m_A$, engendrant un idéal J. Démontrer l’égalité $h_1(A/J) - \delta(A/J) = h_1(A) - \delta(A)$ (se ramener au cas $p = 1$ et distinguer deux cas, suivant que $x_1$ appartient ou non à $m_A^2$).