Bài tập 8, § 5

Cho $A$ là một vành, $P$ là một đa thức đơn khởi bậc $n$ của $A[X]$, $B$ là $A$-đại số $A[X]/(P)$. Ta ký hiệu $x$ là lớp của $X$ trong $B$. Cho $\ell : B \to A$ là dạng tuyến tính $A$ sao cho $\ell(x^{n-1}) = 1$, $\ell(x^i) = 0$ với $0 \leq i \leq n-2$; ta ký hiệu $\tilde{\ell} : B[X] \to A[X]$ là ánh xạ tuyến tính $A[X]$ suy ra từ $\ell$ bằng mở rộng vô hướng. a) Cho $\sigma : B[X] \to A[X]$ là ánh xạ tuyến tính $A[X]$ sao cho $\sigma(x^i) = X^i$ với $i = 0, \ldots, n-1$. Chứng minh công thức $P \tilde{\ell}(Q) = \sigma((X-x)Q)$ với mọi phần tử $Q$ của $B[X]$ (kiểm tra nó với $Q = 1, \ldots, x^{n-1}$). b) Cho $P^*(X) = b_{n-1} X^{n-1} + \ldots + b_0$ là đa thức của $B[X]$ sao cho ta có $P(X) = (X-x)P^*(X)$ trong $B[X]$. Chứng minh rằng $(b_0 \ell, \ldots, b_{n-1} \ell)$ là cơ sở của $B^*$ đối ngẫu với cơ sở $(1, \ldots, x^{n-1})$ của $B$ (áp dụng a cho các đa thức $x^i P^*$). Suy ra rằng $B$-môđun $B^*$ là tự do hạng một, và rằng $\ell$ tạo thành một cơ sở của nó. c) Chứng minh đẳng thức $\mathrm{Tr}_{B/A} = P'(x)\ell$ trong $B^*$ (xem bài tập 7 a)).