Exercice 8, § 5

Soient $A$ un anneau, $P$ un polynôme unitaire de degré $n$ de $A[X]$, $B$ la $A$-algèbre $A[X]/(P)$. On note $x$ la classe de $X$ dans $B$. Soit $\ell : B \to A$ la forme $A$-linéaire telle que $\ell(x^{n-1}) = 1$, $\ell(x^i) = 0$ pour $0 \leq i \leq n-2$ ; on note $\tilde{\ell} : B[X] \to A[X]$ l’application $A[X]$-linéaire déduite de $\ell$ par extension des scalaires. a) Soit $\sigma : B[X] \to A[X]$ l’application $A[X]$-linéaire telle que $\sigma(x^i) = X^i$ pour $i = 0, \ldots, n-1$. Démontrer la formule $P \tilde{\ell}(Q) = \sigma((X-x)Q)$ pour tout élément $Q$ de $B[X]$ (la vérifier pour $Q = 1, \ldots, x^{n-1}$). b) Soit $P^*(X) = b_{n-1} X^{n-1} + \ldots + b_0$ le polynôme de $B[X]$ tel qu’on ait $P(X) = (X-x)P^*(X)$ dans $B[X]$. Prouver que $(b_0 \ell, \ldots, b_{n-1} \ell)$ est la base de $B^*$ duale de la base $(1, \ldots, x^{n-1})$ de $B$ (appliquer $a$ aux polynômes $x^i P^*$). En déduire que le $B$-module $B^*$ est libre de rang un, et que $\ell$ en forme une base. c) Prouver l’égalité $\mathrm{Tr}_{B/A} = P'(x)\ell$ dans $B^*$ (cf. exerc. 7 a)).