Bài tập 1, § 7

Cho $k$ là một vành, $A$ là một $k$-đại số được trang bị tôpô tuyến tính. Ta nói rằng $A$ là một $k$-đại số étale hình thức (t.ư. neat hình thức) nếu nó thỏa mãn điều kiện sau: với mọi $k$-đại số $C$, được trang bị tôpô rời rạc, và mọi iđêan $N$ bình phương bằng không của $C$, mọi đồng cấu liên tục của các $k$-đại số $A \to C/N$ đều có một phép nâng duy nhất (t.ư. nhiều nhất một) $A \to C$. Để $A$ étale hình thức trên $k$, điều kiện cần và đủ là $A$ trơn hình thức và neat hình thức. Mọi thương của $k$ đều neat hình thức.

a) Chứng minh các mệnh đề tương tự như các mệnh đề của Mệnh đề 3 và 4 đối với các đại số neat hình thức hoặc étale hình thức.

b) Cho $J$ là một iđêan của $A$ sao cho tôpô của $A$ là tôpô $J$-adic; ký hiệu $\widehat{\Omega}_k(A)$ là hoàn thành tách của $A$-môđun $\Omega_k(A)$ (đối với tôpô $J$-adic). Để $k$-đại số tôpô $A$ neat hình thức, điều kiện cần và đủ là $\widehat{\Omega}_k(A)$ bằng không (lưu ý rằng mỗi tính chất này tương đương với việc mọi đạo hàm $k$ của $A$ vào một $A$-môđun bị triệt tiêu bởi một lũy thừa của $J$ đều bằng không).