Exercice 1, § 7

Soient $k$ un anneau, $A$ une $k$-algèbre linéairement topologisée. On dit que $A$ est une $k$-algèbre formellement étale (resp. formellement nette) si elle satisfait à la condition suivante : quels que soient la $k$-algèbre $C$, munie de la topologie discrète, et l’idéal de carré nul $N$ de $C$, tout homomorphisme continu de $k$-algèbres $A \to C/N$ admet un unique (resp. au plus un) relèvement $A \to C$. Pour que $A$ soit formellement étale sur $k$, il faut et il suffit qu’elle soit formellement lisse et formellement nette. Tout quotient de $k$ est formellement net.

a) Prouver les énoncés analogues à ceux des prop. 3 et 4 pour les algèbres formellement nettes ou formellement étales.

b) Soit $J$ un idéal de $A$ tel que la topologie de $A$ soit la topologie $J$-adique ; on note $\widehat{\Omega}_k(A)$ le séparé complété du $A$-module $\Omega_k(A)$ (pour la topologie $J$-adique). Pour que la $k$-algèbre topologique $A$ soit formellement nette, il faut et il suffit que $\widehat{\Omega}_k(A)$ soit nul (observer que chacune de ces propriétés équivaut au fait que toute $k$-dérivation de $A$ dans un $A$-module annulé par une puissance de $J$ est nulle).