Bài tập 12, § 7

Cho $A$ là một vành địa phương Noether. Để $A$ là một vành Grothendieck, điều kiện cần và đủ là, với mọi đại số $A$-nguyên hữu hạn $B$, mọi iđêan cực đại $m$ của $B$ và mọi iđêan nguyên tố $q$ của vành hoàn thiện $\widehat{B_m}$ thỏa mãn $B_m \cap q = (0)$, vành địa phương $(\widehat{B_m})_q$ là chính quy (để chứng minh điều kiện này là cần, nhờ bài tập trước, chỉ cần chứng minh rằng, với mọi iđêan nguyên tố $\mathfrak{p}$ của $A$, và mọi mở rộng hữu hạn $K$ của $\kappa(\mathfrak{p})$, vành $K \otimes_A \widehat{A}$ là chính quy; ta có thể đưa vào một đại số $A$-nguyên hữu hạn $B$ có trường các phân thức là K, ký hiệu m_1, ..., m_r là các iđêan cực đại của nó, và diễn giải các vành địa phương của K ⊗_A Ā như các vành địa phương của một trong các $\widehat{B_{m_i}}$.