Exercice 12, § 7

Soit $A$ un anneau local noethérien. Pour que $A$ soit un anneau de Grothendieck, il faut et il suffit que, pour toute $A$-algèbre finie intègre $B$, tout idéal maximal $m$ de $B$ et tout idéal premier $q$ de l’anneau complété $\widehat{B_m}$ vérifiant $B_m \cap q = (0)$, l’anneau local $(\widehat{B_m})_q$ soit régulier (pour montrer que cette condition est nécessaire, il suffit grâce à l’exercice précédent de montrer que, pour tout idéal premier $\mathfrak{p}$ de $A$, et toute extension finie $K$ de $\kappa(\mathfrak{p})$, l’anneau $K \otimes_A \widehat{A}$ est régulier ; on pourra introduire une $A$-algèbre finie intègre $B$ de corps des fractions K, noter m_1, ..., m_r ses idéaux maximaux, et interpréter les anneaux locaux de K ⊗_A Ā comme des anneaux locaux de l’un des $\widehat{B_{m_i}}$.