Bài tập 13, § 7

Cho $k$ là một trường và $A$ là một $k$-đại số về bản chất hữu hạn kiểu. Bây giờ chứng minh rằng $A$ là một vành Grothendieck (ta sẽ rút gọn về trường hợp $A$ là một vành địa phương của một vành đa thức trên $k$ với một số hữu hạn các bất định; sử dụng bài tập trước, ta sẽ khi đó rút gọn về việc chứng minh rằng, với mọi iđêan nguyên tố $r$ của $A[T_1, ..., T_n]$, mọi vành địa phương $C$ của $A[T_1, ..., T_n]$ tại một iđêan cực đại chứa $r$, và mọi iđêan $q$ của vành đầy đủ $\widehat{C}$ sao cho C ∩ q = rC, vành $(\widehat{C})_q / r(\widehat{C})_q$ là chính quy. Với điều này, ta có thể sử dụng Định lý 3 của No. 9).