Exercice 13, § 7

Soient k un corps et A une k-algèbre essentiellement de type fini. Montrer que A est un anneau de Grothendieck (on se ramènera au cas où A est un anneau local d’un anneau de polynômes sur k en un nombre fini d’indéterminées ; en utilisant l’exercice précédent, on se ramènera ensuite à montrer que, pour tout idéal premier r de A[T_1, ..., T_n], tout anneau local C de A[T_1, ..., T_n] en un idéal maximal contenant r, et tout idéal q de l’anneau complété $\widehat{C}$ tel que C ∩ q = rC, l’anneau $(\widehat{C})_q / r(\widehat{C})_q$ est régulier. On pourra pour cela utiliser le th. 3 du n° 9).