Bài tập 15, § 7

Cho k là một trường hoàn hảo có đặc số p > 0, $(T_n)_{n \in \mathbf{N}}$ là một họ các bất định, và K là trường $k((T_n)_{n \in \mathbf{N}})$. Cho A là vành con của vành các chuỗi hình thức K[[X, Y]] sinh bởi K^p[[X, Y]] và K. Vành A là địa phương Noether chính quy có chiều 2 và phần đầy đủ của nó là K[[X, Y]] (§ 6, exerc. 8). Với mọi số nguyên n, ký hiệu $p_n$ là phần tử X − T_nY của A, $q_n$ là tích $p_0 \cdots p_n$, và đặt $c = \sum_{n \in \mathbf{N}} q_n T_n$. Ký hiệu B là đại số con trên A của K[[X, Y]] sinh bởi c.

a) Cho n là một số nguyên > 0 và p là một iđêan nguyên tố của B có chiều cao 1 chứa $p_n$. Bây giờ chứng minh rằng vành B_p không là chuẩn (với mọi số nguyên m, ta đặt $c_m = (c - \sum_{i=0}^{m-1} q_i T_i)/q_m$ và ta sẽ chỉ ra rằng $B_p = A_{Ap_n}[c_{n-1}]$, sao cho $c_n$ không thuộc B_p, trong khi $c_n^p$ thuộc A).

b) Suy ra rằng tập hợp các iđêan nguyên tố p của B sao cho vành B_p là chính quy không chứa tập con mở khác rỗng nào của Spec(B) (ta sẽ chú ý rằng B là một A-môđun phẳng trung thành).