Exercice 15, § 7

Soient k un corps parfait de caractéristique p > 0, $(T_n)_{n \in \mathbf{N}}$ une famille d’indéterminées, et K le corps $k((T_n)_{n \in \mathbf{N}})$. Soit A le sous-anneau de l’anneau de séries formelles K[[X, Y]] engendré par K^p[[X, Y]] et K. L’anneau A est local noethérien régulier de dimension 2 et son complété est K[[X, Y]] (§ 6, exerc. 8). Pour tout entier n, on note $p_n$ l’élément X − T_nY de A, $q_n$ le produit $p_0 \cdots p_n$, et on pose $c = \sum_{n \in \mathbf{N}} q_n T_n$. On désigne par B la sous-A-algèbre de K[[X, Y]] engendrée par c.

a) Soient n un entier > 0 et p un idéal premier de B de hauteur 1 qui contient $p_n$. Montrer que l’anneau B_p n’est pas normal (pour tout entier m, on posera $c_m = (c - \sum_{i=0}^{m-1} q_i T_i)/q_m$ et on montrera que $B_p = A_{Ap_n}[c_{n-1}]$, de sorte que $c_n$ n’est pas dans B_p , alors que $c_n^p$ appartient à A).

b) En déduire que l’ensemble des idéaux premiers p de B tels que l’anneau B_p soit régulier ne contient aucun ouvert non vide de Spec(B) (on remarquera que B est un A-module fidèlement plat).