Bài tập 4, § 7

Cho $k$ là một vành Noether, $A$ là một $k$-đại số sinh hữu hạn. Ta nói rằng $A$ là một $k$-đại số étale (tương ứng net) nếu nó là étale hình thức (tương ứng net hình thức) khi được trang bị tôpô rời rạc.

a) Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

(i) $k$-đại số $A$ là net ; (ii) $\Omega_k(A) = 0$ ; (iii) $A \otimes_k A$-môđun $A$ là xạ ảnh.

(Gọi $I$ là hạt nhân của đồng cấu chính tắc $A \otimes_k A \to A$ ; bây giờ chứng minh rằng (ii) và (iii) đều tương đương với

(iv) $I_q = 0$ với mọi iđêan nguyên tố $q$ của $A \otimes_k A$ chứa $I$.)

b) Cho $f \in k[T]$ là một đa thức sao cho $f$ và $f'$ sinh iđêan đơn vị của $k[T]$. Chứng minh rằng $k$-đại số $k[T]/(f)$ là étale (\emph{xem} No. 3, ví dụ 3).

c) Nếu $k$ là một trường, các $k$-đại số net là các $k$-đại số étale, và khái niệm này trùng với khái niệm được đưa vào trong A, V, p. 28 (trường hợp các đại số có bậc hữu hạn trên $k$ suy ra từ \emph{cùng chỗ trích dẫn}, p. 32, th. 3 ; nếu $A$ là một $k$-đại số net, xét một iđêan cực đại $m$ của $A$ và áp dụng trường hợp trước cho $A/m^n$). Các $k$-đại số net do đó là các tích hữu hạn của các mở rộng tách được có bậc hữu hạn của $k$ (A, V, p. 34, th. 4).

d) Để $k$-đại số $A$ là net, điều kiện cần và đủ là với mọi iđêan nguyên tố $p$ của $k$, $\kappa(p)$-đại số $\kappa(p) \otimes_k A$ là étale.