Exercice 4, § 7

Soient $k$ un anneau noethérien, $A$ une $k$-algèbre de type fini. On dit que $A$ est une $k$-algèbre étale (resp. nette) si elle est formellement étale (resp. formellement nette) lorsqu’on la munit de la topologie discrète.

a) Prouver que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) la $k$-algèbre $A$ est nette ; (ii) $\Omega_k(A) = 0$ ; (iii) le $A \otimes_k A$-module $A$ est projectif.

(Soit $I$ le noyau de l’homomorphisme canonique $A \otimes_k A \to A$ ; montrer que (ii) et (iii) équivalent toutes deux à

(iv) $I_q = 0$ pour tout idéal premier $q$ de $A \otimes_k A$ contenant $I$.)

b) Soit $f \in k[T]$ un polynôme tel que $f$ et $f'$ engendrent l’idéal unité de $k[T]$. Prouver que la $k$-algèbre $k[T]/(f)$ est étale (\emph{cf.} n° 3, exemple 3).

c) Si $k$ est un corps, les $k$-algèbres nettes sont les $k$-algèbres étales, et cette notion coïncide avec celle introduite en A, V, p. 28 (le cas des algèbres de degré fini sur $k$ résulte de \emph{loc. cit.}, p. 32, th. 3 ; si $A$ est une $k$-algèbre nette, considérer un idéal maximal $m$ de $A$ et appliquer le cas précédent à $A/m^n$). Les $k$-algèbres nettes sont donc les produits finis d’extensions séparables de degré fini de $k$ (A, V, p. 34, th. 4).

d) Pour que la $k$-algèbre $A$ soit nette, il faut et il suffit que pour tout idéal premier $p$ de $k$ la $\kappa(p)$-algèbre $\kappa(p) \otimes_k A$ soit étale.