Bài tập 5, § 7

Cho $A$ là một vành địa phương Noether đầy đủ và $B$ là một $A$-đại số kiểu hữu hạn thiết yếu.

a) Bây giờ chứng minh rằng tập hợp các iđêan nguyên tố $p$ của $A$ sao cho vành $A_p$ là chính quy là mở trong $\mathrm{Spec}(A)$ (sẽ sử dụng Bài tập 16 của VIII, § 5 để rút gọn về trường hợp $A$ là nguyên, rồi IX, § 2, No. 5, Định lý 3 và Bài tập 17 của VIII, § 5).

b) Giả sử rằng $A$ chứa một trường\footnote{Giả thiết này thực ra là không cần thiết, \emph{xem} M. Nagata, \emph{On the Closedness of Singular Loci}, Publi. Mat. I.H.E.S. \textbf{2} (1959).}. Bây giờ chứng minh rằng tập hợp các iđêan nguyên tố $q$ của $B$ sao cho vành $B_q$ là chính quy là mở trong $\mathrm{Spec}(B)$ (sẽ sử dụng § 7, Số 9, Hệ quả 2 của Định lý 3 và IX, § 3, Số 3, Định lý 2).