Exercice 5, § 7

Soient $A$ un anneau local noethérien complet et $B$ une $A$-algèbre essentiellement de type fini.

a) Montrer que l’ensemble des idéaux premiers $p$ de $A$ tels que l’anneau $A_p$ soit régulier est ouvert dans $\mathrm{Spec}(A)$ (on utilisera l’exercice 16 de VIII, § 5 pour se ramener au cas où $A$ est intègre, puis IX, § 2, n° 5, th. 3 et l’exercice 17 de VIII, § 5).

b) On suppose que $A$ contient un corps\footnote{Cette hypothèse est en fait superflue, \emph{cf.} M. Nagata, \emph{On the Closedness of Singular Loci}, Publi. Mat. I.H.E.S. \textbf{2} (1959).}. Montrer que l’ensemble des idéaux premiers $q$ de $B$ tels que l’anneau $B_q$ soit régulier est ouvert dans $\mathrm{Spec}(B)$ (on utilisera § 7, n° 9, cor. 2 du th. 3 et IX, § 3, n° 3, th. 2).