Bài tập 8, § 7

Cho $k$ là một trường và $T$ là một họ hữu hạn các phần tử bất định. Đại số $k$-đại số $k[[T]]$ được trang bị tôpô rời rạc.

a) Chứng minh rằng $k[[T]]$ là trơn chính thức trên $k[T]$ tương đối với $k$ (bài tập 7).

b) Nếu $k[[\mathbf{T}]]$ là trơn chính thức trên $k$, chứng minh rằng đặc số $p$ của $k$ là dương ngặt và rằng $k$ là một mở rộng hữu hạn của $k^p$ (suy ra từ bài tập 2 rằng $\Omega_{k[\mathbf{T}]}(k[[\mathbf{T}]])$ là không, và do đó rằng $\Omega_{k(\mathbf{T})}(k((\mathbf{T})))$ là không; sau đó chứng minh, nhờ vào mệnh đề 6 của A, V, p. 99, rằng mở rộng con của $k((\mathbf{T}))$ tạo bởi các chuỗi mà các hệ số của chúng sinh một mở rộng hữu hạn kiểu của $k^p$ bằng $k((\mathbf{T}))$).