Exercice 8, § 7

Soient $k$ un corps et $T$ une famille finie d’indéterminées. On munit la $k$-algèbre $k[[T]]$ de la topologie discrète.

a) Prouver que $k[[T]]$ est formellement lisse sur $k[T]$ relativement à $k$ (exerc. 7).

b) Si $k[[\mathbf{T}]]$ est formellement lisse sur $k$, prouver que la caractéristique $p$ de $k$ est strictement positive et que $k$ est une extension finie de $k^p$ (déduire de l’exerc. 2 que $\Omega_{k[\mathbf{T}]}(k[[\mathbf{T}]])$ est nul, et par suite que $\Omega_{k(\mathbf{T})}(k((\mathbf{T})))$ est nul ; prouver ensuite à l’aide de la prop. 6 de A, V, p. 99, que la sous-extension de $k((\mathbf{T}))$ formée des séries dont les coefficients engendrent une extension de type fini de $k^p$ est égale à $k((\mathbf{T}))$).