Bài tập 9, § 7

Cho $k$ là một trường có đặc số $p > 0$, chứa một họ lọc giảm $(k_\lambda)_{\lambda \in A}$ các trường con thỏa mãn $\bigcap_{\lambda \in A} k_\lambda = k^p$. a) Chứng minh rằng giao của các hạch của các đồng cấu chính tắc từ $\Omega(k)$ vào $\Omega_{k_\lambda}(k)$, với $\lambda$ chạy trên $A$, thu gọn về $(0)$ (xét một cơ sở $p$ của $k$). b) Cho $A$ là một $k$-đại số địa phương chính quy, được trang bị tôpô $m_A$-adic. Chứng minh rằng, để $A$ trơn hình thức trên $k$, điều kiện cần và đủ là $A$ trơn hình thức trên $k$ tương đối với $k_\lambda$, với mọi $\lambda \in A$ (sử dụng a), Mệnh đề 8 và Bài tập 7, a)).