Exercice 9, § 7

Soit $k$ un corps de caractéristique $p > 0$, contenant une famille filtrante décroissante $(k_\lambda)_{\lambda \in A}$ de sous-corps vérifiant $\bigcap_{\lambda \in A} k_\lambda = k^p$. a) Prouver que l’intersection des noyaux des homomorphismes canoniques de $\Omega(k)$ dans $\Omega_{k_\lambda}(k)$, pour $\lambda$ parcourant $A$, est réduite à $(0)$ (considérer une $p$-base de $k$). b) Soit $A$ une $k$-algèbre locale régulière, munie de la topologie $m_A$-adique. Démontrer que pour que $A$ soit formellement lisse sur $k$, il faut et il suffit que $A$ soit formellement lisse sur $k$ relativement à $k_\lambda$, pour tout $\lambda \in A$ (utiliser $a$), la prop. 8 et l’exerc. 7, $a$).