Bài tập 17, § 4

Cho G là một nhóm có toán tử; một chuỗi hợp thành $(G_i)$ của G được gọi là chuẩn nếu mọi $G_i$ đều là các nhóm con ổn định chuẩn của G; một chuỗi chuẩn $\Sigma$ được gọi là chính nếu nó giảm nghiêm ngặt và không tồn tại chuỗi chuẩn nào khác với $\Sigma$, mịn hơn $\Sigma$ và giảm nghiêm ngặt.

(a) Nếu $(G_i)$ và $(H_j)$ là hai chuỗi chuẩn của G, hãy chứng minh rằng tồn tại hai chuỗi chuẩn tương đương lần lượt mịn hơn $(G_i)$ và $(H_j)$ (áp dụng Định lý Schreier bằng cách xét một miền toán tử thích hợp cho G). Hãy đưa ra một chứng minh thứ hai của mệnh đề này bằng cách "chèn" các nhóm con $G'_{ij} = G_i \cap (G_{i+1}H_j)$ và $H'_{ji} = H_j \cap (H_{j+1}G_i)$ lần lượt vào các dãy $(G_i)$ và $(H_j)$.

(b) Nếu G có một chuỗi chính, thì hai chuỗi chính bất kỳ của G là tương đương; với mọi chuỗi chuẩn $\Sigma$ giảm nghiêm ngặt, tồn tại một chuỗi chính mịn hơn $\Sigma$. Suy ra rằng, để G có một chuỗi chính, điều kiện cần và đủ là tập hợp các nhóm con ổn định chuẩn của G thỏa mãn các điều kiện cực đại và cực tiểu.

(c) Nếu G là một nhóm không có toán tử và có một chuỗi chính, và nếu tập hợp các nhóm con của G thỏa mãn điều kiện cực tiểu, thì mọi nhóm thương

G_i/G_{i+1} là tích trực tiếp của một số hữu hạn các nhóm con đơn đẳng cấu với nhau (dùng Bài tập 15).