Exercice 17, § 4

Soit G un groupe à opérateurs; on dit qu’une suite de composition $(G_i)$ de G est distinguée si tous les $G_i$ sont des sous-groupes stables distingués de G; une suite distinguée $\Sigma$ est dite principale si elle est strictement décroissante, et s’il n’existe aucune suite distinguée distincte de $\Sigma$, plus fine que $\Sigma$, et strictement décroissante. a) Si $(G_i)$ et $(H_j)$ sont deux suites distinguées de G, montrer qu’il existe deux suites distinguées équivalentes, plus fines respectivement que $(G_i)$ et $(H_j)$ (appliquer le th. de Schreier en considérant un domaine d’opérateurs convenable pour G). Donner une seconde démonstration de cette proposition, en « intercalant » les sous-groupes $G_{ij}' = G_i \cap (G_{i+1}H_j)$ et $H_{ji}' = H_j \cap (H_{j+1}G_i)$ dans les suites $(G_i)$ et $(H_j)$ respectivement. b) Si G possède une suite principale, deux suites principales quelconques de G sont équivalentes; pour toute suite distinguée $\Sigma$ strictement décroissante, il existe une suite principale plus fine que $\Sigma$. En déduire que, pour que G possède une suite principale, il faut et il suffit que l’ensemble des sous-groupes stables distingués de G satisfasse aux conditions maximale et minimale. c) Si G est un groupe sans opérateur et possède une suite principale $(G_i)$, et si l’ensemble des sous-groupes de G satisfait à la condition minimale, tout groupe quotient $G_i/G_{i+1}$ est produit direct d’un nombre fini de sous-groupes simples et isomorphes entre eux (utiliser l’exerc. 15 de I, p. 125).