Bài tập 19, § 4

(a) Cho G là một nhóm sao cho mọi nhóm con chuẩn tắc của G phân biệt với G đều được chứa trong một nhân tử trực tiếp của G phân biệt với G. Hãy chứng minh rằng G là tổng hạn chế của một họ các nhóm con đơn. (Gọi K là nhóm con của G sinh bởi hợp của tất cả các nhóm con đơn của G. Giả sử $K \neq G$; nếu $x \in G - K$, xét một nhóm con chuẩn tắc M của G cực đại trong số các nhóm con chứa K và không chứa x. Nếu $G = M' \times S$, trong đó $M'$ chứa M và $S \neq \{e\}$, hãy chứng minh rằng $x \notin M'$ và do đó $M' = M$; mặt khác, nếu N là một nhóm con chuẩn tắc của S, hãy chứng minh rằng $M \times N = G$ và kết luận rằng S là đơn, do đó dẫn đến mâu thuẫn. Kết luận nhờ Bài tập 18.) Hãy suy ra đảo lại (xem Bài tập 18).

(b) Để tồn tại trong một nhóm G một họ $(N_\alpha)$ các nhóm con chuẩn tắc đơn sao cho các $G/N_\alpha$ là đơn và $\bigcap_\alpha N_\alpha = \{e\}$, điều kiện cần và đủ là, với mọi nhóm con chuẩn tắc $N \neq \{e\}$ của G, tồn tại một nhóm con chuẩn tắc $N' \neq G$ sao cho $NN' = G$. (Để thấy rằng điều kiện là cần, xét một $x \in N$ phân biệt với e và một $N_\alpha$ không chứa x. Để thấy rằng điều kiện là đủ, với mọi $x \neq e$ trong G, xét nhóm con chuẩn tắc N sinh bởi x và một nhóm con chuẩn tắc $N' \neq G$ sao cho $NN' = G$. Hãy chứng minh rằng nếu một nhóm con chuẩn tắc M của G là cực đại trong số các nhóm con chuẩn tắc của G chứa $N'$ và không chứa x, thì nó cực đại trong tập hợp tất cả các nhóm con chuẩn tắc $\neq G$ và suy ra kết luận.)