Exercice 19, § 4

a) Soit G un groupe tel que tout sous-groupe distingué de G distinct de G soit contenu dans un facteur direct de G distinct de G. Montrer que G est somme restreinte d’une famille de sous-groupes simples. (Soit K le sous-groupe de G engendré par la réunion de tous les sous-groupes simples de G. Supposons $K \neq G$; si $x \in G - K$, considérer un sous-groupe distingué M de G maximal parmi ceux contenant K et ne contenant pas $x$. Si $G = M' \times S$ où $M'$ contient M et $S \neq \{e\}$, montrer que $x \notin M'$ et par suite $M' = M$; d’autre part, si N est un sous-groupe distingué de S, montrer que $M \times N = G$ et en conclure que S est simple, d’où une contradiction. Conclure à l’aide de l’exerc. 18). Réciproque (cf. exerc. 18). b) Pour que dans un groupe G il existe une famille $(N_\alpha)$ de sous-groupes distingués telle que les $G/N_\alpha$ soient simples et que $\bigcap N_\alpha = \{e\}$, il faut et il suffit que pour tout sous-groupe distingué $N \neq \{e\}$ de G, il existe un sous-groupe distingué $N' \neq G$ tel que $NN' = G$. (Pour voir que la condition est nécessaire, considérer un $x \in N$ distinct de $e$, et un $N_\alpha$ ne contenant pas $x$. Pour voir que la condition est suffisante, pour tout $x \neq e$ dans G, considérer le sous-groupe distingué N engendré par $x$, et un sous-groupe distingué $N' \neq G$ tel que $NN' = G$. Montrer que si un sous-groupe distingué M de G est maximal parmi les sous-groupes distingués de G contenant $N'$ et ne contenant pas $x$, il est maximal dans l’ensemble de tous les sous-groupes distingués $\neq G$ et en déduire la conclusion).