Bài tập 22, § 4

Cho E là một á nhóm (§ 3, Bài tập 6) được viết theo phép nhân, có một phần tử lũy đẳng e và sao cho $(xy)(zt) = (xz)(yt)$ với mọi $x, y, z, t$. Gọi $u(x)$ là phần tử của E sao cho $u(x)e = x$ và $v(x)$ là phần tử của E sao cho $ev(x) = x$; hãy chứng minh rằng luật hợp thành $(x, y) \mapsto u(x)v(y)$ là một luật nhóm giao hoán trên E, mà theo đó $e$ là phần tử đơn vị, rằng các ánh xạ $x \mapsto xe$ và $y \mapsto ey$ là các nội cấu tự hoán vị của cấu trúc nhóm này, và rằng $xy = u(xe)v(ey)$ (hãy bắt đầu bằng cách thiết lập các đẳng thức $e(xy) = (ex)(ey)$, $(xy)e = (xe)(ye)$, $e(xe) = (ex)e$; rồi chú ý rằng các quan hệ $x = y$, $ex = ey$ và $xe = ye$ là tương đương). Hãy tìm đảo lại.