Exercice 22, § 4

Soit $E$ un quasi-groupe (I, p. 122, exerc. 6) noté multiplicativement, possédant un idempotent $e$, et tel que $(xy)(zt) = (xz)(yt)$ quels que soient $x, y, z, t$. On désigne par $u(x)$ l’élément de $E$ tel que $u(x)e = x$, par $v(x)$ l’élément de $E$ tel que $ev(x) = x$; montrer que la loi de composition $(x, y) \mapsto u(x)v(y)$ est une loi de groupe commutatif sur $E$, pour laquelle $e$ est élément neutre, que les applications $x \mapsto xe$ et $y \mapsto ey$ sont des endomorphismes permutables de cette structure de groupe, et que $xy = u(xe)v(ey)$ (on commencera par établir les identités $e(xy) = (ex)(ey)$, $(xy)e = (xe)(ye)$, $e(xe) = (ex)e$; on remarquera ensuite que les relations $x = y$, $ex = ey$ et $xe = ye$ sont équivalentes). Réciproque.