Bài tập 23, § 4

Xét trên một tập hợp E một luật trong, không xác định ở mọi nơi, viết theo lối nhân và thỏa mãn các điều kiện sau: (1) nếu một trong hai hợp thành $(xy)z, x(yz)$ được xác định, thì hợp thành kia cũng được xác định và chúng bằng nhau; (2) nếu $x, x', y$ sao cho $xy$ và $x'y$ (tương ứng $yx$ và $yx'$) được xác định và bằng nhau, thì $x = x'$; (3) với mọi $x \in E$, tồn tại ba phần tử $e_x, e'_x$ và $x^{-1}$ sao cho $e_x x = x$, $x e'_x = x$, $x^{-1} x = e'_x$; $e_x$ được gọi là phần tử khả nghịch trái của $x$, $e'_x$ là phần tử khả nghịch phải của $x$, $x^{-1}$ là nghịch đảo của $x$ (theo một sự lạm dụng ngôn ngữ). (a) Chứng minh rằng các hợp thành $xx^{-1}, x^{-1}e_x, e'_x x^{-1}, e_x e'_x, e'_x e'_x$ được xác định và rằng $xx^{-1} = e_x, x^{-1}e_x = e'_x x^{-1} = x^{-1}, e_x e'_x = e_x, e'_x e'_x = e'_x$. (b) Mọi phần tử lũy đẳng $e$ của E (§ 1, no. 4) là phần tử khả nghịch trái đối với mọi $x$ sao cho $ex$ được xác định và là phần tử khả nghịch phải đối với mọi $y$ sao cho $ye$ được xác định. (c) Để hợp thành $xy$ được xác định, điều kiện cần và đủ là phần tử khả nghịch phải của $x$ trùng với phần tử khả nghịch trái của $y$ (để thấy điều kiện là đủ, dùng quan hệ $e_y = yy^{-1}$); nếu $xy = z$, thì $x^{-1}z = y, zy^{-1} = x, y^{-1}x^{-1} = z^{-1}, z^{-1}x = y^{-1}, yz^{-1} = x^{-1}$ (các hợp thành xuất hiện ở vế trái của các quan hệ này đều được xác định). (d) Với hai phần tử lũy đẳng bất kỳ $e, e'$ của E, ký hiệu $G_{e, e'}$ là tập hợp các $x \in E$ sao cho $e$ là phần tử khả nghịch trái và $e'$ là phần tử khả nghịch phải của $x$. Chứng minh rằng, nếu $G_{e, e}$ không rỗng, thì nó là một nhóm đối với luật cảm sinh bởi luật trên E. E được gọi là một groupoid nếu nó còn thỏa mãn điều kiện sau: (4) với mọi phần tử lũy đẳng $e, e'$, $G_{e, e'}$ không rỗng. (e) Trong một groupoid E, nếu $a \in G_{e, e'}$, chứng minh rằng $x \mapsto xa$ là một ánh xạ song ánh từ $G_{e, e}$ lên $G_{e, e'}, y \mapsto ay$ là một ánh xạ song ánh từ $G_{e', e'}$ lên $G_{e, e'}$ và $x \mapsto a^{-1}xa$ là một đẳng cấu của nhóm $G_{e, e}$ lên nhóm $G_{e', e'}$. (f) Chứng minh rằng luật được định nghĩa trong § 1, Bài tập 4(b) xác định một cấu trúc groupoid trên tập hợp $\Psi$, nếu mọi tập hợp của họ $\mathscr{F}$ là đẳng lực.