Exercice 23, § 4

On considère, sur un ensemble $E$, une loi interne non partout définie, notée multiplicativement, et satisfaisant aux conditions suivantes: 1° si l’un des composés $(xy)z$, $x(yz)$ est défini, il en est de même de l’autre et ils sont égaux; 2° si $x, x', y$ sont tels que $xy$ et $x'y$ (resp. $yx$ et $yx'$) soient définis et égaux, on a $x = x'$; 3° pour tout $x \in E$, il existe trois éléments notés $e_x$, $e'_x$ et $x^{-1}$ tels que $e_x x = x$, $x e'_x = x$, $x^{-1} x = e'_x$; $e_x$ est appelé unité à gauche de $x$, $e'_x$ unité à droite de $x$, $x^{-1}$ inverse de $x$ (par abus de langage). a) Montrer que les composés $xx^{-1}$, $x^{-1}e_x$, $e'_x x^{-1}$, $e_x e_x$, $e'_x e'_x$ sont définis, et qu’on a $xx^{-1} = e_x$, $x^{-1}e_x = e'_x x^{-1} = x^{-1}$, $e_x e_x = e_x$, $e'_x e'_x = e'_x$. b) Tout idempotent $e$ de $E$ (I, p. 7) est unité à gauche pour tous les $x$ tels que $ex$ soit défini, unité à droite pour tous les $y$ tels que $ye$ soit défini. c) Pour que le composé $xy$ soit défini, il faut et il suffit que l’unité à droite de $x$ soit la même que l’unité à gauche de $y$ (pour voir que la condition est suffisante, utiliser la relation $e_y = yy^{-1}$); si $xy = z$, on a $x^{-1}z = y$, $zy^{-1} = x$, $y^{-1}x^{-1} = z^{-1}$, $z^{-1}x = y^{-1}$, $yz^{-1} = x^{-1}$ (les composés écrits aux premiers membres de ces relations étant définis). d) Pour deux idempotents quelconques $e, e'$ de $E$, on désigne par $G_{e, e'}$ l’ensemble des $x \in E$ tels que $e$ soit unité à gauche et $e'$ unité à droite de $x$. Montrer que, si $G_{e, e}$ n’est pas vide, c’est un groupe pour la loi induite par celle de $E$. On dit que $E$ est un groupoïde s’il satisfait en outre à la condition suivante: 4° quels que soient les idempotents $e, e'$, $G_{e, e'}$ n’est pas vide. e) Dans un groupoïde $E$, si $a \in G_{e, e'}$, montrer que $x \mapsto xa$ est une application bijective de $G_{e, e}$ sur $G_{e, e'}$, $y \mapsto ay$ une application bijective de $G_{e', e'}$ sur $G_{e, e'}$, $x \mapsto a^{-1}xa$ un isomorphisme du groupe $G_{e, e}$ sur le groupe $G_{e', e'}$. f) Montrer que la loi définie dans I, p. 118, exerc. 4 b) détermine une structure de groupoïde sur l’ensemble $\Psi$, si tous les ensembles de la famille $\mathscr{F}$ sont équipotents.