Bài tập 24, § 4

(a) Với mỗi tập hợp E, xét trên tập hợp $E \times E$ luật hợp thành, không xác định ở mọi nơi, được viết theo lối nhân, theo đó hợp thành của $(x, y)$ và $(y', z)$ chỉ được xác định nếu $y' = y$ và trong trường hợp này có giá trị $(x, z)$. Hãy chỉ ra rằng $E \times E$, được trang bị luật hợp thành này, là một groupoid (Bài tập 23).

(b) Cho $(x, y) \equiv (x', y')$ (R) là một quan hệ tương đương tương thích với phép hợp thành ở trên (nghĩa là sao cho $(x, y) \equiv (x', y')$ và $(y, z) \equiv (y', z')$ kéo theo $(x, z) \equiv (x', z')$); giả sử thêm rằng quan hệ R thỏa mãn điều kiện sau: với mọi $x, y, z$ đều tồn tại một và chỉ một $t \in E$ sao cho $(x, y) \equiv (z, t)$ và tồn tại một $u \in E$ sao cho $(x, y) \equiv (u, z)$.

Hãy chỉ ra rằng trong các điều kiện đó cấu trúc thương theo R của cấu trúc groupoid trên $E \times E$ là một cấu trúc nhóm (trước hết hãy chứng minh rằng luật thương được xác định ở mọi nơi, vì nếu $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$ là ba lớp sao cho $\dot{x}\dot{y} = \dot{x}\dot{z}$, thì $\dot{y} = \dot{z}$; sau cùng hãy thiết lập rằng, với mọi $x \in E, y \in E, (x, x) \equiv (y, y)$).

(c) Cho G là nhóm thu được khi trang bị cho thương của $E \times E$ theo R cấu trúc ở trên. Cho $a$ là một phần tử bất kỳ của E; nếu, với mọi $x \in E, f_a(x)$ ký hiệu lớp mod. R của $(a, x)$, hãy chỉ ra rằng $f_a$ là một ánh xạ song ánh từ E lên G và rằng quan hệ $(x, y) \equiv (x', y')$ là tương đương với quan hệ

Để G giao hoán, điều kiện cần và đủ là quan hệ $(x, y) \equiv (x', y')$ kéo theo $(x, x') \equiv (y, y')$.