Exercice 24, § 4

a) Etant donné un ensemble quelconque $E$, on considère, dans l’ensemble $E \times E$, la loi de composition non partout définie, notée multiplicativement, pour laquelle le composé de $(x, y)$ et de $(y', z)$ n’est défini que si $y' = y$, et a dans ce cas la valeur $(x, z)$. Montrer que $E \times E$, muni de cette loi de composition, est un groupoïde (exerc. 23). b) Soit $(x, y) \equiv (x', y')$ (R) une relation d’équivalence compatible avec la loi de composition précédente (c’est-à-dire telle que $(x, y) \equiv (x', y')$ et $(y, z) \equiv (y', z')$ entraînent $(x, z) \equiv (x', z')$); on suppose en outre que la relation R satisfait à la condition suivante: quels que soient $x, y, z$, il existe un $t \in E$ et un seul tel que $(x, y) \equiv (z, t)$, et il existe un $u \in E$ tel que $(x, y) \equiv (u, z)$. Montrer que, dans ces conditions, la structure quotient par R de la structure de groupoïde de $E \times E$ est une structure de groupe (prouver d’abord que la loi quotient est partout définie, puis que, si $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$ sont trois classes telles que $\dot{x}\dot{y} = \dot{x}\dot{z}$, on a $\dot{y} = \dot{z}$; établir enfin que, quels que soient $x \in E, y \in E$, on a $(x, x) \equiv (y, y)$.

c) Soit G le groupe obtenu en munissant le quotient de $E \times E$ par R de la structure précédente. Soit $a$ un élément quelconque de $E$; si, pour tout $x \in E$, $f_a(x)$ désigne la classe mod. R de $(a, x)$, montrer que $f_a$ est une bijection de E sur G, et que la relation $(x, y) \equiv (x', y')$ est équivalente à la relation $f_a(x)f_a(x')^{-1} = f_a(y)(f_a(y'))^{-1}$.

Pour que G soit commutatif, il faut et il suffit que la relation $(x, y) \equiv (x', y')$ entraîne $(x, x') \equiv (y, y')$.