Bài tập 26, § 4

Cho $G, G'$ là hai nhóm, $f : G \to G'$ là một ánh xạ sao cho, với hai phần tử tùy ý $x, y$ của $G$, $f(xy) = f(x)f(y)$ hoặc $f(xy) = f(y)f(x)$. Cần chứng minh rằng $f$ là một đồng cấu của $G$ vào $G'$ hoặc một đồng cấu của $G$ vào nhóm đối ${G'}^0$ (nói cách khác, hoặc là $f(xy) = f(x)f(y)$ với mọi cặp có thứ tự $(x, y)$ hoặc là $f(xy) = f(y)f(x)$ với mọi cặp có thứ tự $(x, y)$).

(a) Chứng minh rằng tập hợp $N = f^{-1}(e')$ ($e'$ là phần tử đơn vị của $G'$) là một nhóm con chuẩn tắc của $G$ và rằng $f$ phân tích thành $G \xrightarrow{p} G/N \xrightarrow{g} G'$, trong đó $g$ là đơn ánh. Vì vậy, có thể chỉ xét trường hợp $f$ là đơn ánh, và giả sử điều này trong toàn bộ phần tiếp theo.

(b) Chứng minh rằng nếu $xy = yx$ thì $f(x)f(y) = f(y)f(x)$ (xét $f(x^2y)$ và $f(x^2y^2)$, biểu diễn chúng theo nhiều cách).

(c) Chứng minh rằng nếu $f(xy) = f(x)f(y)$ thì $f(yx) = f(y)f(x)$. (Dùng (b) để chứng minh rằng có thể chỉ xét trường hợp $xy \neq yx$.)

(d) Chứng minh rằng $f(xyx) = f(x)f(y)f(x)$. (Dùng (a) hoặc (b) tùy theo $xy = yx$ hay $xy \neq yx$; trong trường hợp thứ hai, xét $f(x^2y)$ và $f(yx^2)$.)

(e) Gọi $A$ là tập hợp các $x \in G$ sao cho $f(xy) = f(x)f(y)$ với mọi $y \in G$ và $B$ là tập hợp các $x \in G$ sao cho $f(xy) = f(y)f(x)$ với mọi $y \in G$. Chứng minh rằng $A \neq G$, $B \neq G$ và $A \cup B = G$ là một tình huống không thể xảy ra. (Theo (b), khi đó sẽ tồn tại $x, y$ trong $A$ sao cho $f(xy) = f(x)f(y) \neq f(y)f(x)$ và $u, v$ trong $B$ sao cho $f(uv) = f(v)f(u) \neq f(u)f(v)$. Suy ra một mâu thuẫn bằng cách lần lượt xét hai khả năng $xu \in A, xu \in B$; trong trường hợp thứ nhất xét $f(xuv)$ và trong trường hợp thứ hai xét $f(yxu)$.)

Phần còn lại của chứng minh gồm việc chứng minh rằng $A \cup B \neq G$ là không thể xảy ra, bằng cách lập luận phản chứng. Nếu $A \cup B \neq G$, tồn tại $a, b, c$ trong $G$ sao cho

(f) Chứng minh rằng $f(c)f(a)f(b) = f(b)f(a)f(c)$. (Xét hai trường hợp tùy theo $bc \neq cb$ hay $bc = cb$. Trong trường hợp thứ nhất, xét $f(bac)$; trong trường hợp thứ hai, sử dụng (b) và (c) và xét $f(abc), f(bca)$ và $f(bac)$.) (g) Xét $f(abac)$ và thu được một mâu thuẫn.