Exercice 26, § 4

Soient G, G’ deux groupes, $f : G \to G'$ une application telle que pour deux éléments quelconques $x, y$ de G, on ait $f(xy) = f(x)f(y)$ ou $f(xy) = f(y)f(x)$. On se propose de prouver que $f$ est un homomorphisme de G dans G’ ou un homomorphisme de G dans le groupe opposé ${G'}^0$ (autrement dit, on a, ou bien $f(xy) = f(x)f(y)$ pour tout couple $(x, y)$, ou bien $f(xy) = f(y)f(x)$ pour tout couple $(x, y)$). a) Montrer que l’ensemble $N = f^{-1}(e')$ (e’ élément neutre de G’) est un sous-groupe distingué de G et que $f$ se factorise en $G \xrightarrow{p} G/N \xrightarrow{g} G'$, où g est injectif. On peut donc se borner à prouver la proposition lorsque $f$ est injectif, ce qu’on suppose par la suite. b) Montrer que si $xy = yx$, alors $f(x)f(y) = f(y)f(x)$ (considérer $f(x^2y)$ et $f(x^2y^2)$ en les exprimant de plusieurs manières).

c) Montrer que si $f(xy) = f(x)f(y)$, alors $f(yx) = f(y)f(x)$. (Montrer à l’aide de b) qu’on peut se borner au cas où $xy \neq yx$.) d) Montrer que $f(xyx) = f(x)f(y)f(x)$. (Utiliser a) ou b), suivant que $xy = yx$ ou $xy \neq yx$; dans le second cas, considérer $f(x^2y)$ et $f(yx^2)$). e) Soient A l’ensemble des $x \in G$ tels que $f(xy) = f(x)f(y)$ pour tout $y \in G$, B l’ensemble des $x \in G$ tels que $f(xy) = f(y)f(x)$ pour tout $y \in G$. Montrer qu’il n’est pas possible que l’on ait $A \neq G$, $B \neq G$ et $A \cup B = G$. (Il existerait alors, en vertu de b), $x, y$ dans A tels que $f(xy) = f(x)f(y) \neq f(y)f(x)$ et $u, v$ dans B tels que $f(uv) = f(v)f(u) \neq f(u)f(v)$. Déduire de là une contradiction, en considérant successivement les deux possibilités $xu \in A, xu \in B$; dans le premier cas, considérer $f(xuv)$ et dans le second $f(yxu)$. Le reste de la démonstration consiste à prouver que l’on ne peut avoir $A \cup B \neq G$, en raisonnant par l’absurde. Si $A \cup B \neq G$, il existe $a, b, c$ dans $G$ tels que

f) Montrer que $f(c)f(a)f(b) = f(b)f(a)f(c)$. (Considérer deux cas suivant que $bc \neq cb$ ou $bc = cb$. Dans le premier cas, considérer $f(bac)$; dans le second, utiliser b) et c) en considérant $f(abc), f(bca)$ et $f(bac)$). g) Considérer $f(abac)$ et obtenir une contradiction.