Bài tập 12, § 1

Cho G là một môđun và E, F là hai môđun con sao cho $E \subset F$.

(a) Nếu F là một nhân tử trực tiếp của G, thì $F/E$ là một nhân tử trực tiếp của $G/E$. Nếu thêm nữa E là một nhân tử trực tiếp của F, thì E là một nhân tử trực tiếp của G.

(b) Nếu E là một nhân tử trực tiếp của G, thì E là một nhân tử trực tiếp của F. Nếu thêm nữa $F/E$ là một nhân tử trực tiếp của $G/E$, thì F là một nhân tử trực tiếp của G.

(c) Hãy cho một ví dụ về hai môđun con M, N của $\mathbf{Z}$-môđun $E = \mathbf{Z}^2$ sao cho M và N là các nhân tử trực tiếp của E nhưng $M + N$ không phải là một nhân tử trực tiếp của E.

(d) Cho $p$ là một số nguyên tố và $U_p$ là môđun con của $\mathbf{Z}$-môđun $\mathbf{Q}/\mathbf{Z}$ gồm các lớp mod $\mathbf{Z}$ của các số hữu tỉ có dạng $k/p^n$ ($k \in \mathbf{Z}$, $n \in \mathbf{N}$). Cho E là tích $\mathbf{Z}$-môđun $M \times N$, trong đó M và N đều đẳng cấu với $U_p$, và M và N được đồng nhất một cách chính tắc với các môđun con của E. Xét tự đồng cấu $u : (x, y) \mapsto (x, y + px)$ của E; hãy chứng minh rằng $u$ là song ánh. Nếu $M' = u(M)$, hãy chứng minh rằng M và $M'$ đều là các nhân tử trực tiếp của E nhưng $M \cap M'$ không phải là một nhân tử trực tiếp của E (dùng (b), bằng cách chỉ ra rằng $\mathbf{Z}$-môđun $U_p$ không có nhân tử trực tiếp nào khác ngoài chính nó và $\{0\}$).