Exercice 12, § 1

Soient G un module E, F, deux sous-modules de G tels que $E \subset F$. a) Si F est facteur direct dans G, $F/E$ est facteur direct dans $G/E$. Si en outre E est facteur direct dans F, E est facteur direct dans G. b) Si E est facteur direct dans G, alors E est facteur direct dans F. Si en outre $F/E$ est facteur direct dans $G/E$, alors F est facteur direct dans G. c) Donner un exemple de deux sous-modules M, N du $\mathbf{Z}$-module $E = \mathbf{Z}^2$, tels que M et N soient facteurs directs de E, mais que $M + N$ ne soit pas facteur direct de E. d) Soient $p$ un nombre premier, $U_p$ le sous-module du $\mathbf{Z}$-module $\mathbf{Q}/\mathbf{Z}$ formé des classes mod. $\mathbf{Z}$ des nombres rationnels de la forme $k/p^n$ ($k \in \mathbf{Z}, n \in \mathbf{N}$). Soit E le $\mathbf{Z}$-module produit $M \times N$, où M et N sont tous deux isomorphes à $U_p$, M et N étant identifiés canoniquement à des sous-modules de E. On considère l’endomorphisme $u : (x, y) \mapsto (x, y + px)$ de E; montrer que u est bijectif. Si $M' = u(M)$, montrer que M et $M'$ sont tous deux facteurs directs de E, mais que $M \cap M'$ n’est pas facteur direct de E (utiliser b), en montrant que le $\mathbf{Z}$-module $U_p$ ne possède aucun facteur direct autre que lui-même et $\{0\}$.