Bài tập 13, § 1

Cho E là một A-môđun và B là vành $\mathrm{End}_A E$. Chứng minh rằng đối với một phần tử $u \in B$ ba điều kiện sau là tương đương: (1) $Bu$ là một nhân tử trực tiếp của B-môđun trái $B_s$; (2) $uB$ là một nhân tử trực tiếp của B-môđun phải $B_d$; (3) $\mathrm{Ker}(u)$ và $\mathrm{Im}(u)$ là các nhân tử trực tiếp của A-môđun E. (Nhận xét rằng mọi iđêan trái là một nhân tử trực tiếp của $B_s$ đều có dạng $Bp$, trong đó $p$ là một phép chiếu trong E; xem I, § 8, Bài tập 12 và sử dụng II, § 1, no. 9, các Hệ quả 1 và 2 của Mệnh đề 15.)