Exercice 13, § 1

Soient E un A-module, B l’anneau $\mathrm{End}_A E$. Montrer que pour un élément $u \in B$, les trois conditions suivantes sont équivalentes: 1° $Bu$ est facteur direct du B-module à gauche $B_s$; 2° $uB$ est facteur direct du B-module à droite $B_d$; 3° $\mathrm{Ker}(u)$ et $\mathrm{Im}(u)$ sont des facteurs directs du A-module E. (Observer que tout idéal à gauche facteur direct de $B_s$ est de la forme $Bp$, où $p$ est un projecteur dans E; cf. I, p. 152, exerc. 12 et utiliser II, p. 21, cor. 1 et 2.)