Bài tập 15, § 1

Cho c là một bản số vô hạn.

(a) Cho I là một tập hợp và R $\{a, b\}$ là một quan hệ giữa các phần tử của I sao cho với mọi $\alpha \in I$ tập hợp các $\beta \in I$ mà với chúng $R \{ \alpha, \beta \}$ đúng có lực lượng $\leq c$. Hãy chỉ ra rằng tồn tại một tập được sắp thứ tự tốt L và một họ tăng $(I_\lambda)_{\lambda \in L}$ các tập con của I sao cho: (1) tồn tại một $\lambda \in L$ sao cho $I_\lambda = \varnothing$; (2) I là hợp của các $I_\lambda$ với $\lambda \in L$; (3) nếu $\lambda \in L$ sao cho tập hợp các $\mu < \lambda$ có một phần tử lớn nhất $\lambda'$, thì $\mathrm{Card}(I_\lambda - I_{\lambda'}) \leq c$; (4) nếu $\lambda \in L$ là cận trên bé nhất của tập hợp các $\mu < \lambda$, thì $I_\lambda$ là hợp của các $I_\mu$ với $\mu < \lambda$; (5) nếu $\alpha \in I_\lambda$ và $R \{ \alpha, \beta \}$ đúng, thì $\beta \in I_\lambda$. (Trước hết chú ý rằng với mọi $\alpha \in I$ tập hợp các $\beta \in I$ mà với chúng tồn tại một số nguyên n và một dãy $(\gamma_j)_{1 \leq j \leq n}$ các phần tử của I sao cho $\gamma_1 = \alpha$, $\gamma_n = \beta$ và $R \{ \gamma_j, \gamma_{j+1} \}$ đúng với $1 \leq j \leq n-1$, có lực lượng $\leq c$. Sau đó xây dựng các $I_\lambda$ bằng quy nạp siêu hạn.)

(b) Cho E là một A-môđun là tổng trực tiếp của một họ $(M_\alpha)_{\alpha \in I}$ các môđun con sao cho $\gamma(M_\alpha) \leq c$ với mọi $\alpha \in I$ (xem Bài tập 6). Cho f là một tự đồng cấu của E. Hãy chỉ ra rằng tồn tại một tập được sắp thứ tự tốt L và một họ tăng $(I_\lambda)_{\lambda \in L}$ các tập con của I thỏa mãn các tính chất (1), (2), (3) và (4) của (a) và sao cho

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

hơn nữa nếu ta viết $E_\lambda = \bigoplus_{\alpha \in I_\lambda} M_\alpha$, thì $f(E_\lambda) \subset E_\lambda$. (Áp dụng (a) cho quan hệ R$\alpha, \beta$: "tồn tại $x \in M_\alpha$ sao cho thành phần của $f(x)$ trong $M_\beta$ là $\neq 0$".) Với mọi $\lambda \in L$ sao cho tập hợp các $\mu < \lambda$ có một phần tử lớn nhất $\lambda'$, hãy viết $F_\lambda = \bigoplus_{\alpha \in I_\lambda - I_{\lambda'}} M_\alpha$. Hãy chỉ ra rằng E là tổng trực tiếp của các $F_\lambda$ (áp dụng Bài tập 14).

(c) Với các giả thiết và ký hiệu của (b), giả sử thêm rằng $f$ là một phép chiếu và đặt $P = f(E)$. Đặt $P_\lambda = P \cap E_\lambda$; chứng minh rằng nếu $\lambda \in L$ sao cho tập hợp các $\mu < \lambda$ có phần tử lớn nhất $\lambda'$, thì $P_{\lambda'}$ là một nhân tử trực tiếp của $P_\lambda$ (xem Bài tập 12), rằng một môđun con bổ sung $P'_\lambda$ của $P_{\lambda'}$ trong $P_\lambda$ là đẳng cấu với một nhân tử trực tiếp của $F_\lambda$ và rằng $\gamma(P'_\lambda) \leq c$. Chứng minh rằng $P$ là tổng trực tiếp của các $P'_\lambda$ (áp dụng Bài tập 14).

(d) Suy ra từ (c) rằng nếu một A-môđun E là tổng trực tiếp của một họ $(M_\alpha)_{\alpha \in I}$ các môđun con sao cho $\gamma(M_\alpha) \leq c$, thì mọi nhân tử trực tiếp P của E cũng là tổng trực tiếp của một họ $(N_\lambda)_{\lambda \in L}$ các môđun con sao cho $\gamma(N_\lambda) \leq c$.