Exercice 15, § 1

Soit c un cardinal infini. a) Soit I un ensemble et soit $R \prec \alpha, \beta$ une relation entre éléments de I telle que, pour tout $\alpha \in I$, l’ensemble des $\beta \in I$ pour lesquels $R \prec \alpha, \beta$ est vraie ait un cardinal $\leq c$. Montrer qu’il existe un ensemble bien ordonné L et une famille croissante $(I_\lambda)_{\lambda \in L}$ de parties de I tels que: 1° il existe un $\lambda \in L$ tel que $I_\lambda = \varnothing$; 2° I est réunion des $I_\lambda$ pour $\lambda \in L$; 3° si $\lambda \in L$ est tel que l’ensemble des $\mu < \lambda$ ait un plus grand élément $\lambda'$, $\mathrm{Card}(I_\lambda - I_{\lambda'}) \leq c$; 4° si $\lambda \in L$ est la borne supérieure de l’ensemble des $\mu < \lambda$, $I_\lambda$ est réunion des $I_\mu$ pour $\mu < \lambda$; 5° si $\alpha \in I_\lambda$ et si $R \prec \alpha, \beta$ est vraie, alors $\beta \in I_\lambda$. (On remarquera d’abord que pour tout $\alpha \in I$, l’ensemble des β ∈ I pour lesquels il existe un entier n et une suite (γ_j)_{1 ≤ j ≤ n} d’éléments de I telle que γ_1 = α, γ_n = β et que R$\gamma_j, \gamma_{j+1}$ soit vraie pour 1 ≤ j ≤ n − 1, a un cardinal ≤ c. On construira ensuite les I_λ par récurrence transfinie.) b) Soient E un A-module, somme directe d’une famille (M_α)_{α ∈ I} de sous-modules tels que γ(M_α) ≤ c pour tout α ∈ I (cf. II, p. 179, exerc. 6). Soit f un endomorphisme de E. Montrer qu’il existe un ensemble bien ordonné L, une famille croissante (I_λ)_{λ ∈ L} de parties de I, vérifiant les propriétés 1°, 2°, 3° et 4° de a), et telle en outre que si l’on pose E_λ = $\bigoplus_{\alpha \in I_\lambda} M_\alpha$, on ait f(E_λ) ⊂ E_λ. (Appliquer a) à la relation R$\alpha, \beta$: « il existe x ∈ M_α tel que la composante de f(x) dans M_β soit ≠ 0 ».) Pour tout λ ∈ L tel que l’ensemble des μ < λ ait un plus grand élément λ’, on pose F_λ = $\bigoplus_{\alpha \in I_\lambda - I_{\lambda'}} M_\alpha$. Montrer que E est somme directe des F_λ (appliquer l’exerc. 14). c) Les hypothèses et notations étant celles de b), on suppose en outre que f est un projecteur et on pose P = f(E). Soit P_λ = P ∩ E_λ; montrer que si λ ∈ L est tel que l’ensemble des μ < λ ait un plus grand élément λ’, P_λ’ est facteur direct dans P_λ (cf. II, p. 180, exerc. 12), supplémentaire P_λ’ de P_λ’ dans P_λ est isomorphe à un facteur direct de F_λ, et que qu’un γ(P_λ’) ≤ c. Montrer que P est somme directe des P_λ’ (appliquer l’exerc. 14). d) Déduire de c) que si un A-module E est somme directe d’une famille (M_α)_{α ∈ I} de sous-modules tels que γ(M_α) ≤ c, alors tout facteur direct P de E est aussi somme directe d’une famille (N_λ)_{λ ∈ L} de sous-modules tels que γ(N_λ) ≤ c.