Bài tập 18, § 1

Cho A là một vành sao cho tồn tại một số nguyên $p$ có tính chất sau: với mọi họ $(a_i)_{1 \leq i \leq p}$ gồm $p$ phần tử của A, tồn tại một họ $(c_i)_{1 \leq i \leq p}$ các phần tử của A, trong đó có ít nhất một phần tử không là ước phải của 0, sao cho $\sum_{i=1}^p c_i a_i = 0$.

(a) Chứng minh, bằng quy nạp theo $n$, rằng với mọi họ $(x_i)$ gồm $p^n$ phần tử của $A_s^n$, tồn tại một họ $(c_j)$ gồm $p^n$ phần tử của $A$, trong đó có ít nhất một phần tử không là ước phải của 0, sao cho $\sum_j c_j x_j = 0$.

(b) Suy ra từ (a) và Bài tập 16 rằng với mọi $n > 0$, A-môđun $A_s^n$ không chứa hệ tự do nào gồm $n + 1$ phần tử.