Exercice 18, § 1

Soit A un anneau, pour lequel il existe un entier p ayant la propriété suivante: pour toute famille (a_i)_{1 ≤ i ≤ p} de p éléments de A, il existe une famille (c_i)_{1 ≤ i ≤ p} d’éléments de A, dont un au moins n’est pas diviseur de 0 à droite, telle que $\sum_{i=1}^p c_i a_i = 0$. a) Montrer, par récurrence sur n, que pour toute famille (x_i) de p^n éléments de A_s^n, il existe une famille (c_j) de p^n éléments de A, dont un au moins n’est pas diviseur de 0 à droite, tel que $\sum_j c_j x_j = 0$. b) Déduire de a) et de l’exerc. 16 que pour tout n > 0, le A-module A_s^n ne contient aucun système libre de n + 1 éléments.