Bài tập 19, § 1

Cho A là một vành khác không không có ước của không. (a) Chứng minh rằng với $n > 1$, A-môđun $A_s^n$ không đơn sinh. (b) Với một số nguyên $n \geq 1$ cho trước, để A-môđun $A_s^n$ không chứa hệ tự do nào gồm $n + 1$ phần tử, điều kiện cần là A thừa nhận một trường phân thức trái (I, § 9, Bài tập 15); ngược lại, nếu điều kiện này được thỏa mãn, thì $A_s^n$ không chứa hệ tự do nào gồm $n + 1$ phần tử, với mọi số nguyên $n > 0$. (Dùng các Bài tập 17 và 18 và I, § 9, Bài tập 16.) (c) Chứng minh rằng nếu mọi iđêan trái của A đều đơn sinh, thì A thừa nhận một trường phân thức trái (dùng (a) và I, § 9, Bài tập 16).