Exercice 19, § 1

Soit A un anneau sans diviseur de zéro, et non réduit à 0. a) Montrer que pour n > 1, le A-module A_s^n n’est pas monogène.

b) Étant donné un entier $n \geqslant 1$, pour que le A-module $A_s^n$ ne contienne pas de système libre de $n + 1$ éléments, il faut que A admette un corps des fractions à gauche (I, p. 155, exerc. 15); inversement, si cette condition est satisfaite, pour aucun entier $n > 0$, $A_s^n$ ne contient de système libre de $n + 1$ éléments. (Utiliser les exerc. 17 et 18, ainsi que I, p. 156, exerc. 16.) c) Montrer que si tout idéal à gauche de A est monogène, A admet un corps des fractions à gauche (utiliser a), et I, p. 156, exerc. 16).