Bài tập 2, § 1

Cho E là một A-môđun trái; với mọi iđêan trái $a$ của A, ký hiệu $aE$ là tổng của các $ax$ với $x \in E$, do đó là một môđun con của E.

(a) Chứng minh rằng với mọi họ $(E_\lambda)_{\lambda \in L}$ các A-môđun, $a \cdot \bigoplus_{\lambda \in L} E_\lambda$ được đồng nhất một cách chính tắc với $\bigoplus_{\lambda \in L} aE_\lambda$.

(b) Nếu $a$ là một iđêan trái sinh hữu hạn của A, chứng minh rằng với mọi họ $(E_\lambda)_{\lambda \in L}$ các A-môđun, $a \cdot \prod_{\lambda \in L} E_\lambda$ được đồng nhất một cách chính tắc với $\prod_{\lambda \in L} aE_\lambda$. Cho một ví dụ trong đó $a$ không sinh hữu hạn và tính chất trên không đúng (lấy A giao hoán và tất cả các $E_\lambda$ bằng A).

(c) Cho K là một trường giao hoán, A là vành $K[X, Y]$ các đa thức theo hai bất định trên K, $m = AX$ và $n = AY$. Nếu E là A-môđun thương của $A^2$ theo môđun con của $A^2$ sinh bởi $Xe_1 - Ye_2$ (trong đó $(e_1, e_2)$ là cơ sở chính tắc của $A^2$), chứng minh rằng $(m \cap n)E \neq (mE) \cap (nE)$