Exercice 2, § 1

Soient E un A-module à gauche; pour tout idéal à gauche $a$ de A on désigne par $aE$ la somme des $ax$ où $x \in E$, qui est donc un sous-module de E. a) Montrer que pour toute famille $(E_\lambda)_{\lambda \in L}$ de A-modules, $a \cdot \bigoplus_{\lambda \in L} E_\lambda$ s’identifie canoniquement à $\bigoplus_{\lambda \in L} aE_\lambda$. b) Si $a$ est un idéal à gauche de type fini de A, montrer que pour toute famille $(E_\lambda)_{\lambda \in L}$ de A-modules, $a \cdot \prod_{\lambda \in L} E_\lambda$ s’identifie canoniquement à $\prod_{\lambda \in L} aE_\lambda$. Donner un exemple où $a$ n’est pas de type fini et où la propriété précédente tombe en défaut (prendre A commutatif et tous les $E_\lambda$ égaux à A). c) Soient K un corps commutatif, A l’anneau $K[X, Y]$ des polynômes à deux indéterminées sur K, $m = AX, n = AY$. Si E est le A-module quotient de $A^2$ par le sous-module de $A^2$ engendré par $Xe_1 - Ye_2$ (où $(e_1, e_2)$ est la base canonique de $A^2$), montrer que $(m \cap n)E \neq (mE) \cap (nE)$