Bài tập 20, § 1

(a) Cho A là một vành thừa nhận một trường phân thức trái (I, § 9, Bài tập 15). Cho E là một A-môđun; hãy chứng minh rằng, nếu trong E $(x_i)_{1 \leq i \leq r}$ là một hệ tự do và $y, z$ là hai phần tử sao cho $x_1, \ldots, x_r, y$ một mặt và $x_1, \ldots, x_r, z$ mặt khác là hai hệ liên quan, thì $x_2, \ldots, x_r, y, z$ là một hệ liên quan. (b) Cho A là vành thương $\mathbf{Z}/6\mathbf{Z}$ và $(e_1, e_2)$ là cơ sở chính tắc của $A^2$; hãy chứng minh rằng nếu $a = 2e_1 + 3e_2$, thì $a$ và $e_1$ lập thành một hệ liên quan, cũng như $a$ và $e_2$, mặc dù $e_1$ và $e_2$ lập thành một hệ tự do.