Exercice 20, § 1

a) Soit A un anneau admettant un corps des fractions à gauche (I, p. 155, exerc. 15). Soit E un A-module; montrer que si, dans E, $(x_i)_{1 \leq i \leq r}$ est un système libre, y, z deux éléments tels que $x_1, \ldots, x_r, y$ d’une part, $x_1, \ldots, x_r, z$ d’autre part, soient deux systèmes liés, alors $x_2, \ldots, x_r, y, z$ est un système lié. b) Soit A l’anneau quotient $\mathbf{Z}/6\mathbf{Z}$, et soit $(e_1, e_2)$ la base canonique du A-module $A^2$; montrer que si $a = 2e_1 + 3e_2$, a et $e_1$ forment un système lié, ainsi que a et $e_2$, bien que $e_1$ et $e_2$ forment un système libre.