Bài tập 24, § 1

Cho E là một A-môđun và M, N là hai môđun con của E. Bộ chuyển của M vào N, ký hiệu là N:M, là tập hợp các $a \in A$ sao cho $aM \subset N$; đó là một iđêan hai phía của A, bằng $\operatorname{Ann}((M+N)/N)$.

(a) Cho A là một vành giao hoán, M là một A-môđun, N là một môđun con của M và x là một phần tử của M; hãy chứng minh rằng $N \cap Ax = (N:Ax)x$.

(b) Cho A là một vành giao hoán và $a, b$ là hai iđêan của A. Hãy chứng minh rằng $a:b \supseteq a$ và rằng $(a:b)/a$ là một A-môđun đẳng cấu với $\operatorname{Hom}(A/b, A/a)$.