Exercice 24, § 1

Soient E un A-module, M, N deux sous-modules de E. On appelle transporteur de M dans N et on note $N : M$ l’ensemble des $a \in A$ tels que $aM \subset N$; c’est un idéal bilatère de A, égal à $\operatorname{Ann}((M + N)/N)$. a) Soient A un anneau commutatif, M un A-module, N un sous-module de M, x un élément de M; montrer que $N \cap Ax = (N : Ax)x$. b) Soient A un anneau commutatif, a, b deux idéaux de A. Montrer que l’on a $a : b \supset a$ et que $(a : b)/a$ est un A-module isomorphe à $\operatorname{Hom}_A(A/b, A/a)$.