Bài tập 26, § 1

Cho E là một A-môđun tự do có một cơ sở chứa ít nhất hai phần tử.

(a) Chứng minh rằng mọi ánh xạ nửa tuyến tính từ E vào chính nó (đối với một tự đẳng cấu của A) mà giao hoán với mọi tự đẳng cấu của E đều tất yếu là một phép vị tự $x \mapsto \alpha x \ (\alpha \in A)$.

(b) Suy ra từ (a) rằng tâm của $\operatorname{End}_A(E)$ là vành các phép vị tự trung tâm, đẳng cấu với tâm của A.

(c) Suy ra từ (a) rằng tâm của nhóm $\mathbf{GL}(E)$ là nhóm các phép vị tự trung tâm khả nghịch của E, đẳng cấu với nhóm nhân của các phần tử khả nghịch của tâm của A.