Exercice 26, § 1

Soit E un A-module libre ayant une base contenant au moins deux éléments. a) Montrer que toute application semi-linéaire de E dans lui-même (relative à un automorphisme de A) qui permuté à tous les automorphismes de E, est nécessairement une homothétie $x \mapsto \alpha x \ (\alpha \in A)$. b) Déduire de a) que le centre de $\operatorname{End}_A(E)$ est l’anneau des homothéties centrales, isomorphe au centre de A. c) Déduire de a) que le centre du groupe $\mathbf{GL}(E)$ est le groupe des homothéties centrales inversibles de E, qui est isomorphe au groupe multiplicatif des éléments inversibles du centre de A.